Vzorce

Uvádím zde některé vzorce finanční matematiky, které považuji za klíčové. Vzorce se týkají úročení a spoření. Soupis jsem záměrně vytvořila zkrácenou formou „studijního taháku“, protože jeho výklad by byl příliš obsáhlý. Soupis vzorců je zde pro přehlednost a dodatečnou úplnost probírané látky. Část těchto vzorců jsem použila a detailněji zpracovala na tomto webu, a to včetně vysvětlení, teorie a příkladů. Pro podrobnější výklad doporučuji prostudovat použitou literaturu.

Zde je soupis vzorců na:

• jednoduché úročení,
• složené úročení,
• spoření.

Jednoduché úročení

Úroková doba

t = 360 ⋅ (R₂ − R₁) + 30 ⋅ (M₂ − M₁) + (D₂ − D₁)

Jednoduché úročení polhůtní

u = K₀ ⋅ i ⋅ n

K_n = K₀ + u

K_n = K₀ ⋅ (1 + i ⋅ n)

$i=\frac{p}{100}$

$n=\frac{t}{360}$

Běžné účty

$UC=\frac{K\cdot t}{100}$

$UD=\frac{360}{p}$

$u=\frac{UC}{UD}$

$u=\frac{\sum _{j=1}^{r}U{C}_j}{UD}$

Diskont (předlhůtní úročení)

D_ob = K_n ⋅ d ⋅ n

K_ob = K_n − D_ob

K_ob = K_n ⋅ (1 − d ⋅ n)

Úroková sazba a diskontní sazba

$i=\frac{d}{1-d\cdot n}$

$d=\frac{i}{1+i\cdot n}\text{;}\Rightarrow \text{obecně }d<i$

Složené úročení

Úroky připisovány 1× ročně, $n\in \mathbb{N}$

$K_n=K_0\cdot {(1+i)}^n$

$K_0=\frac{K_n}{{(1+i)}^n}$

$i=\sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}}-1$

$n=\frac{\ln K_n-\ln K_0}{\ln (1+i)}\text{; použijeme i pro }n\notin \mathbb{N}$

$K_0=\frac{K_1}{{(1+i)}^1}+\frac{K_2}{{(1+i)}^2}+\cdot \cdot \cdot +\frac{K_n}{{(1+i)}^n}$

Úroky připisovány m× ročně, $n\in \mathbb{N}$

$K_n=K_0\cdot {(1+\frac{i}{m})}^{m\cdot n}$

$K_0=\frac{K_n}{{(1+\frac{i}{m})}^{m\cdot n}}$

$i=m\cdot (\sqrt[m\cdot n]{\frac{K_n}{K_0}}-1)$

$n=\frac{\ln K_n-\ln K_0}{m\cdot \ln (1+\frac{i}{m})}\text{; použijeme i pro }n\notin \mathbb{N}$

Smíšené úročení

(kombinace jednoduchého a složeného úročení)

Úroky připisovány 1× ročně, $n\notin \mathbb{N}$

$K_n=K_0\cdot {(1+i)}^{n_0}\cdot (1+l\cdot i)$

$K_0=\frac{K_n}{{(1+i)}^{n_0}\cdot (1+l\cdot i)}$

$n=n_0+l$

$l=\frac{t}{360}$

Úroky připisovány m× ročně, $n\notin \mathbb{N}$

$K_n=K_0\cdot {(1+\frac{i}{m})}^{n_0}\cdot (1+l\cdot i)$

$K_0=\frac{K_n}{{(1+\frac{i}{m})}^{n_0}\cdot (1+l\cdot i)}$

$n=n_0+l$

$l=\frac{t}{360}$

Úroková sazba

Efektivní úroková sazba

$i_{ef}={(1+\frac{i}{m})}^m-1$

Úroková intenzita – spojité úročení

$i_e=e^i-1\text{; ⅇ je Eulerovo číslo, ⅇ = 2,71828…}$

$K_n=K_0\cdot e^{i\cdot n}$

Nominální a reálná úroková sazba

$i_r=\frac{i-i_i}{1+i_i}$

$i=i_r+i_i+i_r\cdot i_i$

$\text{protože }{i}_r\cdot i_i\text{ je malé}\Rightarrow \text{ zjednodušeně:}$

$i_r=i-i_i$

Hrubý a čistý výnos

$i_{č}=i_h\cdot (i-d)$

Spoření

Krátkodobé spoření (jednoduché úročení, n ≤ 1)

Předlhůtní

Spoříme m× ročně částku x na začátku m-tiny roku.

${S\text{'}}_x=m\cdot x\cdot (1+\frac{m+1}{2\cdot m}\cdot i)$

Polhůtní

Spoříme m× ročně částku x na konci m-tiny roku.

$S_x=m\cdot x\cdot (1+\frac{m-1}{2\cdot m}\cdot i)$

Dlouhodobé spoření (složené úročení, $n\in \mathbb{N}$ )

Střadatel polhůtní

$s_n^i=\frac{{(1+i)}^n-1}{i}$

Předlhůtní

Spoříme 1× ročně částku a na začátku roku.

$S\text{'}=a\cdot (1+i)\cdot s_n^i$

Polhůtní

Spoříme 1× ročně částku a na konci roku.

$S=a\cdot s_n^i$

Kombinované spoření

$S=a\cdot s_n^i$

Předlhůtní

Spoříme m× ročně částku x na začátku m-tiny roku.

$a=m\cdot x\cdot (1+\frac{m+1}{2\cdot m}\cdot i)={S\text{'}}_x$

Polhůtní

Spoříme m× ročně částku x na konci m-tiny roku.

$a=m\cdot x\cdot (1+\frac{m-1}{2\cdot m}\cdot i)=S_x$