logo

finanční matematika nejen pro studenty

Vzorce

Uvádím zde některé vzorce finanční matematiky, které považuji za klíčové. Vzorce se týkají úročeníspoření. Soupis jsem záměrně vytvořila zkrácenou formou „studijního taháku“, protože jeho výklad by byl příliš obsáhlý. Soupis vzorců je zde pro přehlednost a dodatečnou úplnost probírané látky. Část těchto vzorců jsem použila a detailněji zpracovala na tomto webu, a to včetně vysvětlení, teorie a příkladů. Pro podrobnější výklad doporučuji prostudovat použitou literaturu.

Zde je soupis vzorců na:

Jednoduché úročení

Úroková doba

t = 360 ⋅ (R2R1) + 30 ⋅ (M2M1) + (D2D1)

Jednoduché úročení polhůtní

u = K0in

Kn = K0 + u

Kn = K0 ⋅ (1 + in)

i = p 100

n = t 360

Běžné účty

U C = K t 100

U D = 360 p

u = U C U D

u = j = 1 r U C j U D

Diskont (předlhůtní úročení)

Dob = Kndn

Kob = KnDob

Kob = Kn ⋅ (1 − dn)

Úroková sazba a diskontní sazba

i = d 1 - d n

d = i 1 + i n ; obecně  d < i

Složené úročení

Úroky připisovány 1× ročně, n

K n = K 0 ( 1 + i ) n

K 0 = K n ( 1 + i ) n

i = K n K 0 n - 1

n = ln K n - ln K 0 ln ( 1 + i ) ; použijeme i pro  n

K 0 = K 1 ( 1 + i ) 1 + K 2 ( 1 + i ) 2 + ⋅⋅⋅ + K n ( 1 + i ) n

Úroky připisovány m× ročně, n

K n = K 0 ( 1 + i m ) m n

K 0 = K n ( 1 + i m ) m n

i = m ( K n K 0 m n - 1 )

n = ln K n - ln K 0 m ln ( 1 + i m ) ; použijeme i pro  n

Smíšené úročení

(kombinace jednoduchého a složeného úročení)

Úroky připisovány 1× ročně, n

K n = K 0 ( 1 + i ) n 0 ( 1 + l i )

K 0 = K n ( 1 + i ) n 0 ( 1 + l i )

n = n 0 + l

l = t 360

Úroky připisovány m× ročně, n

K n = K 0 ( 1 + i m ) n 0 ( 1 + l i )

K 0 = K n ( 1 + i m ) n 0 ( 1 + l i )

n = n 0 + l

l = t 360

Úroková sazba

Efektivní úroková sazba

i e f = ( 1 + i m ) m - 1

Úroková intenzita – spojité úročení

i e = i - 1 ; ⅇ je Eulerovo číslo, ⅇ = 2,71828…

K n = K 0 i n

Nominální a reálná úroková sazba

i r = i - i i 1 + i i

i = i r + i i + i r i i

protože  i r i i  je malé  zjednodušeně:

i r = i - i i

Hrubý a čistý výnos

i č = i h ( i - d )

Spoření

Krátkodobé spoření (jednoduché úročení, n ≤ 1)

Předlhůtní

Spoříme m× ročně částku x na začátku m-tiny roku.

S ' x = m x ( 1 + m + 1 2 m i )

Polhůtní

Spoříme m× ročně částku x na konci m-tiny roku.

S x = m x ( 1 + m - 1 2 m i )

Dlouhodobé spoření (složené úročení, n )

Střadatel polhůtní

s n i = ( 1 + i ) n - 1 i

Předlhůtní

Spoříme 1× ročně částku a na začátku roku.

S ' = a ( 1 + i ) s n i

Polhůtní

Spoříme 1× ročně částku a na konci roku.

S = a s n i

Kombinované spoření

S = a s n i

Předlhůtní

Spoříme m× ročně částku x na začátku m-tiny roku.

a = m x ( 1 + m + 1 2 m i ) = S ' x

Polhůtní

Spoříme m× ročně částku x na konci m-tiny roku.

a = m x ( 1 + m - 1 2 m i ) = S x

Úmluvy

Standardy

Pokud není řečeno jinak, tak je zde využíván standard 30E/360 (německá metoda).

Daň z úroků

Pokud je v příkladech použita daň z úroků, pak je počítáno se srážkovou daní ve výši 15 %.

Zaokrouhlování

Zaokrouhluji standardně na dvě desetinná místa. Dny zaokrouhluji na celé dny. Roky v desetinném vyjádření zaokrouhluji na čtyři desetinná místa.

Úroková doba

Při výpočtu úrokové doby první den vkladu (resp. půjčky) se počítá a poslední den vkladu (resp. půjčky) se nepočítá. Ze dvou krajních dnů se tedy započítává pouze jeden celý den.

Pokud je úroková doba dána měsíčně, pololetně, čtvrtletně či ročně, předpokládám, že úročení začíná již prvním dnem. Počítám tedy celý měsíc, celé čtvrtletí, pololetí či rok.

Úrokové období

Pokud nebude zadáno jinak, počítám s úrokovým obdobím o délce jednoho roku.